Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn (C) biết điểm M (2;0)

Đường tròn có tâm I(2; -3), bán kính R = 3. Hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn (C) nên tâm hình vuông cũng là tâm I(2; -3) của đường tròn, hay I là trung điểm của MP, suy ra tọa độ điểm P(2; -6)

Gọi \(\overrightarrow{n_{1}}(a;b)(a^{2}+b^{2}\neq 0)\) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng chứa cạnh hình vuông.

Vì \(\overrightarrow{PM}(0;6)\) nên đường thẳng MP có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{2}}(1;0).\)

Các cạnh của hình vuông hợp với đường chéo MP một góc \(45^{\circ}\) nên ta có:

\(\left | \cos (\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}}) \right |=\cos 45^{\circ}\Leftrightarrow \left | \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}},\sqrt{1^{2}+0^{2}}} \right |=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2a^{2}=a^{2}+b^{2}\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} a=b\\ a=-b \end{matrix}\)

Vậy có hai véc tơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}(1;1)\) và \(\overrightarrow{n'}(1;-1)\)

+ Cặp đường thẳng có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(1;1):\)

• Đi qua \(M(2;0):x+y-2=0\)
• Đi qua \(P(2;-6):x+y+4=0\)

+ Cặp đường thẳng có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n'}(1;-1):\)

• Đi qua \(M(2;0):x-y-2=0\)
• Đi qua \(P(2;-6):x-y-8=0\)

Vậy các đường thẳng chứa các cạnh hình vuông MNPQ là \(x+y-2=0;x+y+4=0;x-y-2=0;x-y-8=0.\)