YOMEDIA
NONE

Với hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau \(T = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}} + \dfrac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\)

Với hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  sau \(T = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}  + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}}  + \dfrac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\) 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Song Thu

    Với \(a > 0\) ta có hệ thức :

    \(\begin{array}{l}{\left( {1 + \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{{a + 1}}} \right)^2} = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{2}{a} - \dfrac{2}{{a + 1}} - 2\dfrac{1}{{a\left( {a + 1} \right)}}\\ = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{2}{a} - \dfrac{2}{{a + 1}} - \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{{a + 1}}\\ = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

    Nên

    \(\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}}  = \left| {1 + \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{{a + 1}}} \right| \\= 1 + \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{{a + 1}}\)

    Khi đó: \(T = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}  + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}}  + \dfrac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} \\= 2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)

    Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của \(T.\)

    Giả sử \(M > 0\) là giá trị lớn nhất của \(T.\)

    Khi đó nếu ta chọn \(\dfrac{1}{x} = M + 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{M + 1}} \in \left( {0;1} \right);\,y = 2 - \dfrac{1}{{M + 1}} > 0\) khi đó ta có \(x,y\) vừa chọn thỏa mãn là các số dương và \(x + y = 2.\)

    Với bộ \(x,y\) vừa chọn ta có \(T = 2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} > 2 + M + 1.\)

    Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của \(T.\)

      bởi Song Thu 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF