Tính các cạnh của tam giác ABC, biết AB/AC=1căn3,HC−HB=8

bởi Nguyễn Thanh Hà 30/01/2019

Cho tam giác ABC, góc A bằng 90 độ, AH vuông BC, Biết \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}},HC-HB=8\)

a) tính các cạnh của tam giác ABC ?

b) Hình chữ nhật MNIQ nội tiếp tam giác ABC (I,Q thuộc BC ; M thuộc AB ; N thuộc AC). Tìm giá trị lớn nhất của \(S_{MINQ}?\)

Câu trả lời (1)

  • A B C M N Q I H a D

    Bạn vẽ hình rồi kí hiệu như trên.

    a) \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}\)(Cái này áp dụng hệ thức lượng tam giác dạng \(c^2=a\cdot c'\)).

    Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{1}{3}\\CH-BH=8\end{matrix}\right.\) => Hiệu số phần bằng nhau là 2.

    Ta tính được : \(\left\{{}\begin{matrix}CH=\dfrac{8}{2}\cdot3=12\\BH=\dfrac{12}{3}=4\end{matrix}\right.\) => \(BC=BH+CH=16\).

    \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{1}{3}\), mà \(AB^2+AC^2=BC^2=16^2=256\)

    Tổng số phần bằng nhau là 4.

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=\dfrac{256}{4}=64\\AC^2=\dfrac{256}{4}\cdot3=192\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=8\\AC=8\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

    Vậy \(\Delta ABC\)\(AB=8,AC=8\sqrt{3},BC=16\).

    b)\(S_{MNIQ}=MQ\cdot MN=a\cdot MN\) (kí hiệu như hình).

    Trong đó : \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{8\cdot8\sqrt{3}}{16}=4\sqrt{3}\)

    +) \(AD=AH-HD=AH-MQ=4\sqrt{3}-a\)

    +) \(MN\)//\(BC\Rightarrow\Delta AMN\) đồng dạng với \(\Delta ABC\)

    \(\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AD}{AH}\Rightarrow MN=\dfrac{BC\cdot AD}{AH}\)

    \(=\dfrac{16\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{4\sqrt{3}}=\dfrac{4\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{\sqrt{3}}\)

    => \(S_{MNIQ}=MQ\cdot MN=a\cdot\left(\dfrac{4\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{16\sqrt{3}a-4a^2}{\sqrt{3}}\)

    \(=\dfrac{-\left(4a^2-16\sqrt{3}a\right)}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\left[\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2-48\right]}{\sqrt{3}}\)

    \(=\dfrac{48-\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{3}}=\dfrac{48}{\sqrt{3}}-\dfrac{\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{3}}\le\dfrac{48}{\sqrt{3}}=16\sqrt{3}\)

    Vậy \(S_{MNIQ-max}=16\sqrt{3}\Leftrightarrow a=2\sqrt{3}\).

    bởi du Dinh Bien 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan