ON
YOMEDIA
VIDEO

Tính A=căn(a(1−b)(1−c))+căn(b(1−a)(1−c))+căn(c(1−a)(1−b))−căn(abc)+2017

Cho a, b,c >0 thỏa mãn \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\). Tính:

\(A=\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-a\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}+2017\)

Theo dõi Vi phạm
YOMEDIA

Trả lời (1)

 
 
 
  • Lời giải:

    Từ ĐKĐB suy ra tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:

    \((a,b,c)=\left(\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}; \frac{y^2}{(y+z)(y+x)}; \frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\right)\)

    (lưu ý cách đặt ẩn phụ như thế này rất hữu ích trong các bài BĐT có điều kiện như trên)

    Khi đó:

    \(a(1-b)(1-c)=\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\left(1-\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}\right)\left(1-\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\right)\)

    \(=\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}.\frac{xy+yz+xz}{(y+z)(y+x)}.\frac{xy+yz+xz}{(z+x)(z+y)}=\left(\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\right)^2\)

    \(\Rightarrow \sqrt{a(1-b)(1-c)}=\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)

    Tương tự như vậy với các phân thức tương ứng còn lại.

    \(\sqrt{abc}=\sqrt{\frac{x^2.y^2z^2}{((x+y)(y+z)(z+x))^2}}=\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)

    Do đó:

    \(A=\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{y(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{z(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017\)

    \(A=\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017=1+2017=2018\)

      bởi Phạm Thị Hải Yến 18/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1