YOMEDIA
NONE

Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất

Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh:
a) Tứ giác ABHM nội tiếp
b) OA.OB = OH.OM = R2
c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • KHÁNH HÒA

    O A M E F H B I

    Hướng dẫn giải:

    a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra EF ⊥ OM

    Tứ giác ABHM có góc A = góc H = 900 nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.

    b) \(Δ_VOHB ∼ Δ_VOAM\) (g.g)

    \(\Rightarrow \dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OB}{AM}\)

    \(\Rightarrow OA.OB=OH.OM\) (1)

    \(Δ_VOHE∼ Δ_VOEM\) (g.g)

    \(\Rightarrow \dfrac{OH}{OE}=\dfrac{OE}{OM}\)

    \(\Rightarrow OH.OM=OE^2=R^2\)(2)

    Từ (1) và (2) suy ra \(OA.OB=OH.OM =R^2\)

    c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.

    Do \(\stackrel\frown{FI}=\stackrel\frown{EI}\) suy ra \(\widehat{MFI}=\widehat{EFI}\)

    Suy ra FI là phân giác của góc \(\widehat{MFE}\)

    Lại có MI là phân giác của góc \(\widehat{EMF}\)

    Do đó I là giao điểm của đường phân giác trong của tam giác MEF

    \(\Rightarrow\) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

    Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.

    d) Diện tích tam giác HBO: \(S=\dfrac{1}{2}HO.HB\)

    Xét \(Δ_VOHB∼ Δ_VOAM\) (g.g)

    \(\Rightarrow \dfrac{HB}{AM}=\dfrac{OB}{OM}\)

    \(\Rightarrow HB.OM=AM.OB\) (3)

    Có: \(OH.OM=R^2\) (4)

    Nhân (3) và (4) vế với vế ta được: \(OH.HB.OM^2=R^2.AM.OB=R^2.AM.\dfrac{R^2}{OA}\)

    \(\Rightarrow OH.HB = R^4.\dfrac{AM}{OA.OM^2}= R^4.\dfrac{AM}{OA.(OA^2+AM^2)}\)

    Áp dụng BĐT Cô si với OA và AM ta có: \(OA^2+AM^2\ge2.\sqrt{OA^2.AM^2}=2.OA.AM\)

    Dấu "=" xảy ra khi: \(OA=AM\)

    \(\Rightarrow OH.HB \le R^4.\dfrac{AM}{OA.2.OA.AM}=\dfrac{R^4}{2OA^2}\)

    Suy ra: \(S_{max}=\dfrac{R^4}{4.OA^2}\) khi \(OA=AM\)

      bởi KHÁNH HÒA 02/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF