YOMEDIA
NONE

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) sao cho 5^x + 12^x = y^2

1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) sao cho : \(5^x+12^x=y^2\)

2) Chứng minh số \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}\)là số chẵn

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Xinh Xinh Vân Anh

    Bài 1:

    Ta thấy: \(y^2=5^x+12^x\equiv 5^x\equiv (-1)^x\pmod 3\)

    Nếu $x$ lẻ suy ra \(y^2\equiv (-1)^x\equiv -1\equiv 2\pmod 3\)

    Điều này vô lý do một số chính phương chia $3$ chỉ có thể dư $0,1$

    Do đó $x$ chẵn. Đặt \(x=2k\)

    \(\Rightarrow 5^{2k}+12^{2k}=y^2\)

    \(\Leftrightarrow (y-12^k)(y+12^k)=5^{2k}\)

    Khi đó tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho:

    \(\left\{\begin{matrix} y-12^k=5^m\\ y+12^k=5^n\end{matrix}\right.(m+n=2k)\)

    \(\Rightarrow 2.12^k=5^n-5^m\)

    Vì \(2.12^k\not\vdots 5\Rightarrow 5^n-5^m\not\vdots 5\). Do đó bắt buộc một trong hai số $m,n$ bằng $0$

    Vì cả hai đều là số tự nhiên mà $m< n$ nên $m=0$

    Do đó: \(2.12^k=5^n-1=5^{2k}-1=25^k-1(*)\)

    Nếu \(k=0\) thì vô lý

    Nếu \(k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=13\) (thỏa mãn)

    Nếu \(k\geq 2\) : \(25^k-1=(24+1)^k-1>24^k=2^k.12^k>2.12^k\) (trái với $(*)$)

    Vậy \((x,y)=(2,13)\)

      bởi Xinh Xinh Vân Anh 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF