YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN của P = x^2/y+z + y^2/z + x + z^2/x + y

Cho x,y,z > 0 và x + y + x = 4. Tìm GTNN của \(P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Lan Anh Nguyễn

    P=\(\dfrac{x^2}{y+z}\)+\(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

    P+x+y+z=\(\dfrac{x^2}{y+z}+x+\dfrac{y^2}{x+z}+y+\dfrac{z^2}{x+y}+z\)

    =\(\dfrac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\dfrac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\dfrac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)

    =(x+y+z)(\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\))(*)

    ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

    \(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

    ta có:\(\dfrac{x}{y+z}+1+\dfrac{y}{x+z}+1+\dfrac{z}{x+y}+1\ge\dfrac{9}{2}\)

    (x+y+z)(\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+z}\))\(\ge\dfrac{9}{2}\)

    đặt a=x+y;b=y+z;c=z+x, ta có bất phương trình sau:

    \(\dfrac{a+b+c}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)(**)

    mà a+b+c\(\ge3\sqrt[3]{abc}\);\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

    <=>(a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge\)9

    =>(**) được chứng minh

    thay vào (*) ta được:P=(x+y+z)(\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}-1\))

    \(\ge\)4(\(\dfrac{3}{2}-1\))=2

      bởi Lan Anh Nguyễn 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON