YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN của biểu thức P=a/b^2+b/c^2+c/a^2 + 9/2(a+b+c)

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc=1. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Minh Tú Hà

    Lời giải:

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

    \(\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq \left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\)

    \(\Rightarrow \frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac\)

    Do đó:
    \(P\geq ab+bc+ac+\frac{9}{2(a+b+c)}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(ab+bc+ac+\frac{9}{2(a+b+c)}=\frac{ab+bc+ac}{2}+\frac{ab+bc+ac}{2}+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9(ab+bc+ac)^2}{8(a+b+c)}}\)

    Theo một kết quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

    \((ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)\)

    Thay \(abc=1\Rightarrow (ab+bc+ac)^2\geq 3(a+b+c)\)

    Do đó: \(P\geq ab+bc+ac+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{9}{2}\)

    Vậy \(P_{\min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

      bởi Minh Tú Hà 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON