Giải hệ phương trình (m+1)x−y=3mx+y=m, mx+y=m

Lời giải:

Khi \(m=-\sqrt{2}\). HPT tương đương:

\(\left\{\begin{matrix} (-\sqrt{2}+1)x-y=3\\ -\sqrt{2}x+y=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế: \(\Rightarrow (1-2\sqrt{2})x=3-\sqrt{2}\Rightarrow x=\frac{3-\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}\)

\(\Rightarrow y=(m+1)x-3=\frac{(-\sqrt{2}+1)(1-5\sqrt{2})}{7}-3=-\frac{10+6\sqrt{2}}{7}\)

b)

\(\left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=3\\ mx+y=m\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=(m+1)x-3\\ mx+y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow mx+[(m+1)x-3]=m\)

\(\Leftrightarrow x(2m+1)=m+3\)

Để hệ có bộ nghiệm duy nhất thì $x$ là duy nhất.

Với \(m=-\frac{1}{2}\Rightarrow x.0=\frac{5}{2}\) (vô lý, pt vô nghiệm)

Với \(m\neq -\frac{1}{2}\), pt có nghiệm duy nhất \(x=\frac{m+3}{2m+1}\)

\(\Rightarrow y=(m+1)x-3=\frac{m^2-2m}{2m+1}\)

Do đó: \(x+y=\frac{m^2-m+3}{2m+1}\)

Để \(x+y>0\Leftrightarrow \frac{m^2-m+3}{2m+1}>0\Leftrightarrow \frac{(m-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}}{2m+1}>0\)

\(\Leftrightarrow 2m+1>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{2}\)

Vậy đk là \(m> \frac{-1}{2}\)