YOMEDIA
NONE

Chứng minh (x^4/y+3z) + (y^4/z+3x) + (z^4/x+3y)>= 3/4

Cho \(xy+yz+xz\ge3\)

CMR:\(\dfrac{x^4}{y+3z}+\dfrac{y^4}{z+3x}+\dfrac{z^4}{x+3y}\ge\dfrac{3}{4}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Dương Ngọc Hà

    Lời giải:

    Phải thêm điều kiện \(x,y,z>0\) nữa em nhé. Nếu không bài toán sai ngay với \(x=y=z=-1\)

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

    \(\text{VT}=\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y^4}{z+3x}+\frac{z^4}{x+3y}=\frac{(x^2)^2}{y+3z}+\frac{(y^2)^2}{z+3x}+\frac{(z^2)^2}{x+3y}\)

    \(\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{y+3z+z+3x+x+3y}=\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4(x+y+z)}(1)\)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxky: \((x^2+y^2+z^2)(1+1+1)\geq (x+y+z)^2\)

    \(\Rightarrow \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\geq x+y+z(2)\)

    Từ \((1); (2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=\frac{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}{4\sqrt{3}}\)

    Theo hệ quả của BĐT AM-GM \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\geq 3\)

    Suy ra \(\text{VT}\geq \frac{\sqrt{3^3}}{4\sqrt{3}}=\frac{3}{4}\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)

      bởi Dương Ngọc Hà 02/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF