YOMEDIA
NONE

Chứng minh (x−1)(y−1)(z−1)≤xyz/64

cho x,y,z >1 và x+y=z=4

c/m : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\le\frac{xyz}{64}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Ngô Trọng Quý

    Lời giải:

    Khai triển, BĐT cần chứng minh tương đương với

    \(64(xy+yz+xz)-63xyz\geq 192\)

    Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=\max (x,y,z)\Rightarrow z\geq \frac{4}{3}\)

    Đặt \(f(x,y,z)=64(xy+yz+xz)-63xyz\)

    Ta sẽ chứng minh \(f(x,y,z)\geq f\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z\right)\)

    \(\Leftrightarrow 64(xy+yz+xz)-63xyz\geq 64\left [ \left ( \frac{x+y}{2} \right )^2+z(x+y) \right ]-63z\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2\)

    \(\Leftrightarrow \frac{64(x-y)^2}{4}\leq \frac{63z(x-y)^2}{4}\Leftrightarrow z\geq\frac{63}{64}\)

    Điều này hiển nhiên đúng vì \(z\geq \frac{4}{3}>\frac{63}{64}\)

    Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra \(f\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z\right)\geq 192\)

    \(\Leftrightarrow 64\left [ \left ( \frac{x+y}{2} \right )^2+z(x+y) \right ]-63z\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2\geq 192\)

    \(\Leftrightarrow 64z(4-z)+16(4-z)^2-\frac{63}{4}z(4-z)^2\geq 192\Leftrightarrow 63z^3-312z^2+496z-256\leq 0\)

    \(\Leftrightarrow (3z-4)^2(7z-16)\leq 0\Leftrightarrow z\leq \frac{16}{7}\)

    BĐT trên đúng vì \(x,y>1\Rightarrow z=4-x-y<2<\frac{16}{7}\)

    Do đó \(f(x,y,z)\geq f\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z\right)\geq 192\)

    Chứng minh hoàn tất. Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{4}{3}\)

      bởi Ngô Trọng Quý 14/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF