YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a, b, c thoả mãn điều kiện a^2+b^2=c^2 thì abc chia hết cho 60

Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a, b, c thoả mãn điều kiện \(a^2+b^2=c^2\) thì abc chia hết cho 60

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Phạm Luna

    Lời giải:

    Ta biết rằng một số chính phương choa $3$ có dư $0$ hoặc $1$

    Giả sử trong ba số $a,b,c$ không có số nào chia hết cho $3$

    Khi đó: \(a^2\equiv b^2\equiv c^2\equiv 1\pmod 3\)

    Mà \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow c^2=a^2+b^2\equiv 1+1\equiv 2\pmod 3\) (mâu thuẫn)

    Do đó luôn tồn tại ít nhất một trong ba số chia hết cho $3$

    \(\Rightarrow abc\vdots 3\)

    Mặt khác: Một số chính phương khi chia $5$ có thể dư $0,1$ hoặc $4$

    Nếu $a,b$ có ít nhất một số chia hết cho $5$ thì $abc$ chia hết cho $5$

    Nếu $a,b$ không có số nào chia hết cho $5$ thì \(a^2,b^2\equiv 1,4\pmod 5\)

    Xét các TH sau:
    +) \(a^2\equiv 1, b^2\equiv 4\pmod 5\) hoặc ngược lại

    \(\Rightarrow c^2=a^2+b^2\equiv 5\equiv 0\pmod 5\Rightarrow c^2\vdots 5\Rightarrow c\vdots 5\)

    \(\Rightarrow abc\vdots 5\)

    +) \(a^2\equiv b^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow c^2\equiv 2\not\equiv 0,1,4\pmod 5\) (vô lý)

    +) \(a^2\equiv b^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow c^2\equiv 8\equiv 3\not\equiv 0,1,4\pmod 5\) (vô lý)

    Vậy \(abc\vdots 5\)

    Lại xét:

    \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow (a+b)^2-2ab=c^2\)

    \(\Leftrightarrow 2ab=(a+b-c)(a+b+c)\)

    Vì $a+b-c,a+b+c$ có cùng tính chẵn lẻ mà tích của chúng lại là số chẵn nên \(a+b-c, a+b+c\) chẵn

    \(\Rightarrow 2ab=(a+b-c)(a+b+c)\vdots 4\Rightarrow ab\vdots 2\)

    Đến đây ta thấy:

    -Nếu \(a,b\vdots 2\Rightarrow ab\vdots 4\rightarrow abc\vdots 4\)

    -Nếu $a,b$ có một số chẵn một số lẻ. Không mất tổng quát giả sử $a$ chẵn $b$ lẻ

    \(a^2=c^2-b^2\)

    $c$ chẵn thì $ac$ chia hết cho $4$ suy ra $abc$ chia hết cho $4$

    $c$ lẻ:

    Xét số chính phương lẻ có dạng

    \(x^2=(4k\pm 1)^2\Rightarrow x^2-1=16k^2\pm 8k+1-1=16k^2\pm 8k\vdots 8\)

    Do đó ta suy ra scp lẻ luôn chia 8 dư 1

    \(\Rightarrow b^2\equiv c^2\equiv 1\pmod 8\Rightarrow a^2=c^2-b^2\vdots 8\)

    \(\Rightarrow a\vdots 4\Rightarrow abc\vdots 4\)

    Vậy trong mọi TH có thể $abc$ đều chia hết cho $4$

    Ta thấy $abc$ chia hết cho $3,4,5$ mà $3,4,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $abc$ chia hết cho $60$

      bởi Phạm Luna 16/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON