YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng a/a+b + b/b+c + c/c+a < căn(a/b+c)+căn(b/c+a)+căn(c/a+b)

Cho a,b,c > 0 . CMR :

\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Trần Nguyễn Minh Thư

    _ Chứng minh VT <2 .

    Với a,b,c > 0, ta có:

    \(a< a+b\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}< 1=\dfrac{c}{c}\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}< \dfrac{a+c}{a+b+c}\) (1)

    \(b< b+c\Rightarrow\dfrac{b}{b+c}< 1=\dfrac{a}{a}\Rightarrow\dfrac{b}{b+c}< \dfrac{a+b}{a+b+c}\) (2)

    \(c< c+a\Rightarrow\dfrac{c}{c+a}< 1=\dfrac{b}{b}\Rightarrow\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{c+b}{a+b+c}\) (3)

    Từ (1) , (2) và (3), Cộng vế theo vế ta có:

    \(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(*)

    _Chứng minh VP > 2.

    Theo BĐT Cô-si, ta có:

    \(\sqrt{\dfrac{b+c}{a}.1}\le\left(\dfrac{b+c}{a}+1\right):2=\dfrac{b+c+a}{2a}\)

    Do vậy : \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

    Tương tự:\(\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c},\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)

    Cộng vế theo vế

    \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

    Dấu ''='' xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=a+c\\c=a+b\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow a+b+c=0\) (trái với g/t a,b,c >0)

    Vậy đẳng thức khong xảy ra dấu ''=''

    \(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\) (**)

    Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)

      bởi Trần Nguyễn Minh Thư 29/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON