YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng a+1/b^2+1 + b+1/c^2+1 + c+1/a^2+1 ≥ 3

Cho các số thực a , b , c > 0 thỏa mãn \(a+b+c=3\)

Chứng minh rằng \(\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\ge3\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Xét: \(\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)

    \(\Leftrightarrow a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+1}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+1}+1-\dfrac{a^2}{a^2+1}+1-\dfrac{b^2}{b^2+1}+1-\dfrac{c^2}{c^2+1}\)

    \(\Leftrightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)+3-\left(\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\right)\)

    Xét \(3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab^2}{b^2+1}\le\dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}{2}\\\dfrac{bc^2}{c^2+1}\le\dfrac{bc^2}{2c}=\dfrac{bc}{2}\\\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ca^2}{2a}=\dfrac{ca}{2}\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)

    \(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) ( 1 )

    Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có

    \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\le3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) ( 2 )

    Từ ( 1 ) và ( 2 )

    \(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}\) ( 3 )

    Xét \(3-\left(\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\right)\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{a^2+1}\le\dfrac{a^2}{2a}=\dfrac{a}{2}\\\dfrac{b^2}{b^2+1}\le\dfrac{b^2}{2b}=\dfrac{b}{2}\\\dfrac{c^2}{c^2+1}\le\dfrac{c^2}{2c}=\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\)

    \(\Rightarrow3-\left(\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\right)\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\) ( 4 )

    Từ ( 3 ) và ( 4 ) cộng theo từng vế

    \(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\ge3\)

    \(\Rightarrow\) ( đpcm )

      bởi Biện Tuấn 21/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF