YOMEDIA
NONE

Chứng minh M=a^5_1+a^5_2+a^5_3+...+a^5_2017

Cho các số nguyên dương: \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2017}\)sao cho :

\(N=a_1+a_2+a_3+...+a_{2017}\)chia hết cho 30.

Chứng minh: \(M=a^5_1+a^5_2+a^5_3+...+a^5_{2017}\)chia hết cho 30.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Thảo Đoàn

    Lời giải:

    Sử dụng kết quả sau: Với \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n^5-n\vdots 30\)

    Chứng minh:

    Ta có: \(n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)

    Xét thấy \(n-1,n\) là hai số nguyên liên tiếp nên \(n(n-1)\vdots 2\)

    \(\Rightarrow n^5-n\vdots 2(1)\)

    Xét thấy \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên

    \(n(n-1)(n+1)\vdots 3\)

    \(\Rightarrow n^5-n\vdots 3(2)\)

    Xét modulo của 5 cho $n$ :

    +) \(n=5k\Rightarrow n^5-n=(5k)^2-(5k)\vdots 5\)

    +) \(n=5k+1\Rightarrow n-1=5k\vdots 5\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)

    +) \(n=5k+2\Rightarrow n^2+1=(5k+2)^2+1=5(5k^2+4k+1)\vdots 5\)

    \(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)

    +) \(n=5k+3\Rightarrow n^2+1=(5k+3)^2+1=5(5k^2+6k+2)\vdots 5\)

    \(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)

    +) \(n=5k+4\Rightarrow n+1=5k+5\vdots 5\)

    \(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)

    Tóm lại trong mọi TH thì \(n^5-n\vdots 5(3)\)

    Từ (1);(2);(3) và (2,3,5) là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên:

    \(n^5-n\vdots (2.3.5=30)\)

    --------------------------------

    Quay trở tại bài toán. Áp dụng kết quả trên:

    \(M-N=(a_1^5-a_1)+(a_2^5-a_2)+...+(a_{2017}^5-a_{2017})\vdots 30\)

    Mà \(N\vdots 30\Rightarrow M\vdots 30\)

    Vậy ta có đpcm.

      bởi Thảo Đoàn 16/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON