YOMEDIA
NONE

Chứng minh (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9

CMR : các BĐT với a,b,c là các số dương :

a ) \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

b ) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge1,5.\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Trương Tuyến

    a ) Ta có :

    \(A=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

    \(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right).\)

    Ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\) với \(x,y\) dương . Do đó \(A\ge3+2+2+2=9.\)

    Vậy \(A\ge9.\)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)

    b ) Áp dụng BĐT ở câu a : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\) trong đó \(x,y,z>0\).Với \(x=b+c,y=a+c,z=a+b\) ta được :

    \(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

    \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4,5\)

    \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge4,5\)

    \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge4,5\)

    \(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge1,5\)

    Xảy ra đẳn thức khi và chỉ khi \(a=b=c.\)

      bởi Trương Tuyến 14/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF