YOMEDIA
NONE

Cho các số không âm sau \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(Q = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)

Cho các số không âm sau \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  \(Q = \sqrt {2{x^2} + x + 1}  + \sqrt {2{y^2} + y + 1}  + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \) 

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • hành thư

    Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số không âm và \(x + y + z = 1\) nên \(0 \le x,\,y,\,\,z \le 1\).

    Chứng minh \(\sqrt {2{x^2} + x + 1}  \le x + 1\).

    \(\begin{array}{l}\sqrt {2{x^2} + x + 1}  \le x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2{x^2} + x + 1} } \right)^2} \le {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 1 \le {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 1 - {x^2} - 2x - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x \le 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \le 0\end{array}\)

    Ta có: \(x\left( {x - 1} \right) \le 0\) luôn đúng với \(0 \le x \le 1\).

    Chứng minh tương tự ta có:

     \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2{y^2} + y + 1}  \le y + 1\\\sqrt {2{z^2} + z + 1}  \le x + 1\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow Q = \sqrt {2{x^2} + x + 1}  + \sqrt {2{y^2} + y + 1}  + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)

    \( \le \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right) + \left( {z + 1} \right)\)\( = \left( {x + y + z} \right) + 3\)

    Mà \(x + y + z = 1\) nên  \(Q \le 4\).

    Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0,\,\,z = 1\\x = z = 0,\,\,y = 1\\y = z = 0,\,\,x = 1\end{array} \right.\)

    Vậy \(Q\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(4\) khi \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,0;\,\,1} \right),\,\,\left( {0;\,\,1;\,\,0} \right),\,\,\left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)} \right\}\).

      bởi hành thư 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON