YOMEDIA
NONE

Cho biết x, y là các số không âm thỏa mãn \(x + y = 4\). Chứng minh \({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\)

Cho biết x, y là các số không âm thỏa mãn \(x + y = 4\). Chứng minh \({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\) 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lê Vinh

    Theo bài ra ta có :

    \({\left( {x + y} \right)^2} = {4^2} = 16\)

    \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 16\)

    \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16 - 2xy\)

    Từ đó suy ra

    \({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\)

    \(\Leftrightarrow {x^2}{y^2}\left( {16 - 2xy} \right) \le 128\)

    Đặt \(t = xy\) ta có \(0 \le xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{16}}{4} = 4 \) \(\Rightarrow 0 \le t \le 4\).

    \( \Rightarrow {t^2}\left( {16 - 2t} \right) \le 128\) với \(t \le 4\) \( \Leftrightarrow 8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\) với \(0 \le t \le 4\)

    Ta cần chứng minh \(8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\) với \(0 \le t \le 4\)

    Ta có

    \(\begin{array}{l}\,\,\,8{t^2} - {t^3} - 64\\ = \left( {t - 4} \right)\left( { - {t^2} + 4t + 16} \right)\\ = \left( {t - 4} \right)\left[ { - t\left( {t - 4} \right) + 16} \right]\end{array}\)

    Với \(0 \le t \le 4 \Rightarrow t - 4 \le 0\)

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow t\left( {t - 4} \right) \le 0 \\\Leftrightarrow  - t\left( {t - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow  - t\left( {t - 4} \right) + 16 \ge 16 > 0\\ \Rightarrow \left( {t - 4} \right)\left[ { - t\left( {t - 4} \right) + 16} \right] \le 0\end{array}\)

    Do đó bất đẳng thức được chứng minh.

    Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow x = y = 2\).

      bởi Lê Vinh 12/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF