Cho P(x) là 1 đa thức bậc 4. Biết P(1)=P(-1) và P(2)=P(-2)

bởi nguyễn chi 10/02/2019

a)Cho P(x) là 1 đa thức bậc 4. Biết P(1)=P(-1) và P(2)=P(-2).Chứng minh rằng P(x)=P(-x) vs mọi x thuộc R

b) Vẽ đồ thị hàm số y=\frac{x}{\left | x\right |}

c)Tìm các số nguyên tố x và y sao cho x2-2y2-1=0

Câu trả lời (1)

  • a) Đa thức P(x) bậc 4 nên có dạng:

    P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e

    Ta có: P(1)=P(-1)

    \Rightarrow a.1^{4}+b.1^{3}+c.1^{2}+d.1+e=a.(-1)^{4}+b.(-1)^{3}+c.(-1)^{2}+d.(-1)+e

    \Rightarrow a+b+c+d+e=a-b+c-d+e

    \Rightarrow 2b+2d=0        (1)

    Lại có:P(2)=P(-2)

    \Rightarrow a.2^{4}+b.2^{3}+c.2^{2}+d.2+e=a.(-2)^{4}+b.(-2)^{3}+c.(-2)^{2}+d.(-2)+e

    \Rightarrow 16a+8b+4c+2d+e=16a-8b+4c-2d+e

    \Rightarrow 16b+4d=0      (2)

    Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

    \left\{\begin{matrix} 2b+2d=0\\ 16b+4d=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=0\\ d=0 \end{matrix}\right.

    Do đó: P(x)=ax^{4}+cx^{2}+e

    Cũng có: P(-x)=a.(-x)^{4}+c.(-x)^{2}+e=ax^{4}+cx^{2}+e=P(x)

    Vậy: P(-x)=P(x)

    b)

    Ta có:

    \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x \Leftrightarrow x>0\\ -x\Leftrightarrow x<0 \end{matrix}\right.\Rightarrow y=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x}=1\Leftrightarrow x>0\\ \frac{x}{-x}=-1\Leftrightarrow x<0 \end{matrix}\right.

    Đồ thị hàm số là đường thẳng y = 1 khi x >0 và y = -1 khi x<0.

    Tự vẽ hình

    c) Ta có: x^{2}-2y^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}-1=2y^{2}

    Do đó: x^{2}-1 là số chẵn hay x^{2} là số lẻ. Do đó x là số lẻ \Rightarrow x=2k+1(k\mathbb{Z})

    Lại có: y^{2}=\frac{x^{2}-1}{2}=\frac{\left ( 2k+1 \right )^{2}-1}{2}=\frac{4k^{2}+4k+1-1}{2}=2(k^{2}+k)

    Suy ra y^{2} là số chẵn hay y là số chẵn. Lại có y là số nguyên tố \Rightarrow y=2

    Thay y=2 vào phương trình ban đầu ta được:

    x^{2}-2.2^{2}-1=0\Leftrightarrow x^{2}=9\Leftrightarrow x=3 (x là số nguyên tố)

    Vậy (x;y)=(3;2)

    bởi Ha Joon 10/02/2019
    Like (2) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Các câu hỏi có liên quan

Được đề xuất cho bạn