Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng: \(\Delta :\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr y = - 1 + 2t \hfill \cr z = 4 \hfill \cr} \right.\) Gọi \(\Delta '\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: \((\alpha ):x - 3y + z = 0\) và \((\alpha '):x + y - z + 4 = 0\) và điểm \(M_0 (1; 1; 2)\). Viết phương trình đường thẳng qua M0, cắt cả \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng: \(\Delta :\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr y = - 1 + 2t \hfill \cr z = 4 \hfill \cr} \right.\) Gọi \(\Delta '\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: \((\alpha ):x - 3y + z = 0\) và \((\alpha '):x + y - z + 4 = 0\) và điểm \(M_0 (1; 1; 2)\). Viết phương trình đường thẳng qua M₀, cắt cả \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

Theo dõi Vi phạm

Trả lời (1)

Gọi d là đường thẳng qua Mo, cắt cả \(\Delta \) và \(\Delta \)'. Khi đó, d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \beta \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta )\) và \(\left( {\beta '} \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta ')\)

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) đi qua \({M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{M_o}{N_o}} ,\overrightarrow u } \right].\)

Ta có \(\overrightarrow {{M_o}{N_o}} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right),\overrightarrow u = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\) suy ra

\(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {\left| {\matrix{ { - 2} & 2 \cr 2 & 0 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & 2 \cr 0 & 1 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & { - 2} \cr 1 & 2 \cr } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).\)

Vậy phương trình mp(\(\beta \)) là :

\( - 4(x - 1) + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \( - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Mặt phẳng (\(\beta \)) đi qua \({M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\beta '}}} = \left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o'} ,\overrightarrow {u'} } \right].\)

Ta có \(\overrightarrow {{M_o}N_o'} = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\overrightarrow {u'} {\rm{ }} = {\rm{ }}(2;{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o'} ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ { - 1} & 0 \cr 2 & 4 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 0 & { - 3} \cr 4 & 2 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 3} & { - 1} \cr 2 & 2 \cr } } \right|} \right) \)

\(= \left( { - 4;12; - 4} \right).\)

Ta chọn một vectơ pháp tuyến khác của (\(\beta '\)) là (1 ; -3 ; 1), từ đó (\(\beta '\)) có phương trình là :

\(1.(x - {\rm{ }}1){\rm{ }} - {\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right) + 1\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right) = 0\) hay \(x - {\rm{ }}3y + z = 0.\)

Dễ thấy rằng đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \( - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + 3z - 5 = {\rm{ }}0\) và \(x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) thoả mãn bài toán. Do đó, phương trình tham số của d là

\(\left\{ \matrix{ x = {\rm{ }} - 3{\rm{ }} + {\rm{ }}2t \hfill \cr \;y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + t \hfill \cr {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}t. \hfill \cr} \right.\)

Dễ thấy d cắt cả \(\Delta \) và \(\Delta \)'.

bởi Tuấn Tú 25/05/2021

Like (0) Báo cáo sai phạm