YOMEDIA
NONE

Không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;0;2} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc \(\left( S \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{1}{2}\)          

B. \(\dfrac{3}{4}\)       

C. \(\dfrac{{21}}{4}\)             

D. \(\dfrac{{19}}{4}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Lệ Diễm

    Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} {\rm{\;}} + 2\overrightarrow {IB} {\rm{\;}} = \vec 0\) ta có:

    \(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \left( { - a; - b;2 - c} \right) + 2\left( {1 - a;1 - b; - c} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - a + 2 - 2a = 0}\\{ - b + 2 - 2b = 0}\\{2 - c - 2c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \dfrac{2}{3}}\\{b = \dfrac{2}{3}}\\{c = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)}\end{array}\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{*{20}{l}}{M{A^2} + 2M{B^2} = {{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)}^2}}\\{ = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA}  + I{A^2} + 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}}\\{ = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} } \right)}_{\vec 0} = 3M{I^2} + \underbrace {I{A^2} + 2I{B^2}}_{const}}\end{array}\)

    Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {2 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} = \dfrac{8}{3}}\\{I{B^2} = {{\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)}^2} = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I{A^2} + 2I{B^2} = 4\) không đổi \( \Rightarrow {\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\) với \(I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M \in \left( S \right)\).

     

    Ta có \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3} - 1} \right)^2} = 1 > \dfrac{1}{4} \Rightarrow I\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) .

     

    Vậy \({\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} = 3M{I_{{{\min }^2}}} + 4 = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 4 = \dfrac{{19}}{4}\).

    Chọn D.

      bởi Nguyễn Lệ Diễm 07/05/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON