YOMEDIA
NONE

Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (A'BD), và khoảng cách giữa hai đường thẳng AO' và B'O

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}=45^{\circ},AA'=\frac{a\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},\) O và O' là tâm của ABCD và A'B'C'D'. Tính theo a.

a) Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'; 

b) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (A'BD), và khoảng cách giữa hai đường thẳng AO' và B'O.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Choco Choco

    a) Ta có: \(S_{ABCD}=2S_{ABD}\)

    \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}=\frac{a^{2}}{2\sqrt{2}}\)

    Do ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ đứng nên \(V_{ABCD.A'B'C'D'}=AA'.S_{ABCD}=\frac{a\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\frac{a^{2}}{\sqrt{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\)

    b) Ta có \(O\in(A'BD)\) và \(OA=OC\) nên \(d(C;(A'BD))=d(A;(A'BD))\)

    ABCD là hình thoi => \(BD\perp OA,AA'\perp (ABCD)\)

    \(\Rightarrow BD\perp AA'\Rightarrow BD\perp (A'OA).\) Gọi H là hình chiếu của A lên A'O

    \(\Rightarrow AH\perp A'O, BD\perp AH\Rightarrow AH\perp (A'BD)\Rightarrow d(A;(A'BD))=AH.\)

    \(\widehat{BAD}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{ABC}=135^{\circ}\Rightarrow AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}-2BA.BC.\cos \widehat{ABC}=a^{2}(2+\sqrt{2})\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)

    Trong \(\triangle AA'O\) có: \(\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AO^{2}}+\frac{1}{AA'^{2}}-\frac{8}{a^{2}}\Rightarrow AH=\frac{a}{2\sqrt{2}}\Rightarrow d(C;(A'BD))=\frac{a}{2\sqrt{2}}.\)

    Ta có: AO // O'C' => AOC'O' là hình bình hành => A'O // OC' => AO' // (OB'C')

    => d(AO'; B'O) = d(O'; (OB'C')). Gọi I là hình chiếu của O' lên B'C' => \(OI\perp B'C'.\)

    Ta có: \(OO'//AA'\Rightarrow OO'\perp (A'B'C'D')\Rightarrow OO'\perp B'C'\Rightarrow B'C'\perp (OO'I).\)

    Gọi K là hình chiếu của O' lên OI => \(O'K\perp OI,B'C'\perp O'K\Rightarrow O'K\perp (OB'C')\Rightarrow d(O';(OB'C'))=O'K.\)

    Ta có: \(B'D'^{2}=A'B'^{2}+A'D'^{2}-2A'B'.A'D'.\cos \widehat{B'A'D'}=a^{2}(2-\sqrt{2})\)

    \(B'D'=a\sqrt{2-\sqrt{2}},A'C'\perp B'D'\Rightarrow \frac{1}{O'I^{2}}=\frac{1}{O'B'^{2}}+\frac{1}{O'C'^{2}}\Rightarrow O'I=\frac{a}{2\sqrt{2}}.\)

    Ta có: \(\frac{1}{O'K^{2}}=\frac{1}{O'I^{2}}+\frac{1}{O'O^{2}}\Rightarrow O'K=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{5-2\sqrt{2}}}.\)

    Vậy \(d(AO';B'O)=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{5-2\sqrt{2}}}\)

      bởi Choco Choco 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON