Cho hàm số \(y=\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-6mx+\frac{1}{2}.\)

Khi \(m=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-3x+\frac{1}{2}\)

1. Tập xác định: D = R

2. Sự biến thiên của hàm số

* Giới hạn tại vô cực của hàm số.

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-3x+\frac{1}{2})=\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{3}(\frac{1}{2}-\frac{3}{4x}-\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{2x^{3}})=+\infty ;\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty\)

* Lập bảng biến thiên \(y'=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x-3;y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1\Rightarrow y(-1)=\frac{9}{4}\\x=2\Rightarrow y(2)=-\frac{9}{2} \end{matrix}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((2;+\infty );\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 2);

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 \(\Rightarrow y_{ct}=-\frac{9}{2},\) Hàm số đạt cực đại tại x = 0 \(\Rightarrow y_{cd}=\frac{9}{4}\)

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2)

Đồ thị hàm số đi qua (-1; 9/4), (-5/2; -9/2)

b) Tập xác định: D = R

\(y=\frac{x^{3}}{2}-\frac{3}{4}x^{2}-3x+\frac{1}{2}\)

\(y'=\frac{3x^{3}}{2}-\frac{3}{2}x-3;y'(1)=-3;y(1)=-\frac{11}{4}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là \(y=y'(1)(x-1)+y(1)=-3(x-1)-\frac{11}{4}=-3x+\frac{1}{4}\)