Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-y-2z-2=0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}\). Biết mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(\left( d \right)\) và tạo với \(\left( \alpha \right)\) một góc nhỏ nhất có phương trình dạng ax+by+cz+3=0. Giá trị của T=a.b.c bằng:

+ \(\left( \alpha\right)\) có một VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( -1;\,2;\,1 \right)\).

+ VTPT của \(\left( P \right)\) có dạng \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)\) với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\).

+ Vì (P) chứa \(\left( d \right)\) nên \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -a+2b+c=0\Leftrightarrow c=a-2b\).

+ Ta có: \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|}=\frac{\left| 2a-b-2c \right|}{3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| b \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}-4ab+5{{b}^{2}}}}\).

TH1: Nếu b=0 thì \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)={{90}^{{}^\circ }}\).

TH2: Nếu \(b\ne 0\) thì \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)\) nhỏ nhất khi \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{1}{\sqrt{2{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}-4\frac{a}{b}+5}}\) lớn nhất.

Ta có: \(\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)=\frac{1}{\sqrt{2{{\left( \frac{a}{b}-1 \right)}^{2}}+3}}\) lớn nhất khi \(\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)

So sánh hai trường hợp ta thấy \(\left( \left( P \right),\left( \alpha\right) \right)\) nhỏ nhất khi a=b nên \(\overrightarrow{n}=\left( a;a;-a \right)\).

Do đó,

\(a\left( x-0 \right)+a\left( y+1 \right)-a\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow ax+ay-az+3a=0\).

Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình dạng ax+by+cz+3=0 nên \(a=1\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)\)

Vậy T=-1.