Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le 2020\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+3 \right)+x=2y+{{9}^{y}}\)?

Ta có: \({{\log }_{3}}\left( 3x+3 \right)+x=2y+{{9}^{y}}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1=2y+{{3}^{2y}} \left( 1 \right)\).

Đặt \(t={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Rightarrow x+1={{3}^{t}}\). Với \(x\in \left[ 0;2020 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\).

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow t+{{3}^{t}}=2y+{{3}^{2y}}\text{ }\left( 2 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( u \right)=u+{{3}^{u}},\,\,u\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\).

\({f}'\left( u \right)=1+{{3}^{u}}\ln 3>0,\,\,\forall u\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\). Và do hàm số \(f\left( u \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\), suy ra \(f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]\).

Do đó \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2y \right)\Leftrightarrow t=2y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=2y\Leftrightarrow x={{3}^{2y}}-1\).

Vì \(x\in \left[ 0;2020 \right]\) nên \(0\le {{3}^{2y}}-1\le 2020\Leftrightarrow 1\le {{3}^{2y}}\le 2021\)

\(\Leftrightarrow 0\le 2y\le {{\log }_{3}}2021\)

\(\Leftrightarrow 0\le y\le \frac{1}{2}{{\log }_{3}}2021\).

Do \(y\in \mathbb{Z}\) nên \(y\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}\). Ứng với mỗi giá trị nguyên của y cho ta 1 giá trị nguyên của x.

Vậy có 4 cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thoả mãn yêu cầu bài toán.