Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( 0;1;1 \right)\), \(B\left( 3;0;-1 \right)\), \(C\left( 0;21;-19 \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\). Gọi điểm \(M\left( a;b;c \right)\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(S=a+b+c\).

Gọi điểm \(K\left( x;y;z \right)\) sao cho \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {KA} = \left( { - x;1 - y;1 - z} \right)\\ \overrightarrow {KB} = \left( {3 - x; - y; - 1 - z} \right)\\ \overrightarrow {KC} = \left( { - x;21 - y; - 19 - z} \right) \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 2\left( {3 - x} \right) - x = 0\\ 3\left( {1 - y} \right) - 2y + 21 - y = 0\\ 3\left( {1 - z} \right) - 2\left( {1 + z} \right) - 19 - z = 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 4\\ z = - 3 \end{array} \right. \Rightarrow K\left( {1;4; - 3} \right)\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} 3M{A^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right)^2} = 3M{K^2} + 6\overrightarrow {MK} .\overrightarrow {KA} + 3K{A^2}\\ 2M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)^2} = 2M{K^2} + 4\overrightarrow {MK} .\overrightarrow {KB} + 2K{B^2}\\ M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KC} } \right)^2} = M{K^2} + 2\overrightarrow {MK} .\overrightarrow {KC} + 2K{C^2} \end{array} \right.\).

\(\Rightarrow T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=5M{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MK}\left( 3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC} \right)+\left( 3K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+K{{C}^{2}} \right)\)

\(=5M{{K}^{2}}+\underbrace{\left( 3K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+K{{C}^{2}} \right)}_{const}\). Do đó \({{T}_{\min }}\) khi và chỉ khi \(M{{K}_{\min }}\).

Suy ra \(M=IK\cap \left( S \right)\) và đồng thời M nằm giữa I và K.

Ta có \(\overrightarrow{IK}=\left( 0;3;-4 \right)\Rightarrow IK:\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=1+3t \\ & z=1-4t \\ \end{align} \right.\). Suy ra toạ độ điểm M thoả mãn:

\({{\left( 3t \right)}^{2}}+{{\left( 4t \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{5}\). Vì M nằm giữa I và K nên \(t=\frac{1}{5}\) và \(M\left( 1;\frac{8}{5};\frac{1}{5} \right)\)

Vậy \(S=a+b+c=1+\frac{8}{5}+\frac{1}{5}=\frac{14}{5}\)