Trong không gian \(Oxyz\), lấy điểm \(C\)trên tia \(Oz\) sao cho \(OC = 1\). Trên hai tia \(Ox,Oy\) lần lượt lấy hai điểm \(A,B\) thay đổi sao cho \(OA + OB = OC\). Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(O.ABC\)?

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right) \Rightarrow OA = \left| a \right|,\,\,OB = \left| b \right|\).

Tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc.

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(OC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)\).

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right) \Rightarrow OA = \left| a \right|,\,\,OB = \left| b \right|\).

Tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc.

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(OC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)\).

\(\begin{array}{l}R = OI = \sqrt {I{M^2} + O{M^2}}  = \sqrt {\frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2} + 1} }}{2} = \frac{{\sqrt {2{a^2} - 2a + 2} }}{2}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} - a + 1} \right)} }}{2} = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} - 2.a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)} }}{2} = \frac{{\sqrt {2{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }}{2} \ge \frac{{\sqrt 6 }}{4}\end{array}\)

Vậy \({R_{\min }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{2}\).

Chọn A.