Trong không gian \(Oxy\text{z}\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\): {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4\) và hai điểm \(A\left( -1;\,2;\,0 \right), B\left( 2;\,5;\,0 \right)\). Gọi K là điểm thuộc \(\left( S \right)\) sao cho KA+2KB nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(K,\,A,\,B\) có dạng ax+by+z+c=0. Giá trị của a+b+c là

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 3;\,2;\,0 \right)\), bán kính R=2.

Vì chúng ta cần đánh giá tổng KA+2KB nên ta tìm điểm M sao cho KA=2KM \(\Leftrightarrow \frac{KA}{KM}=2\) khi K thay đổi trên \(\left( S \right)\).

Ta thấy IK=R=2 và IA=4 nên \(\frac{IA}{IK}=2=\frac{KA}{KM}\).

Xét hai tam giác IAK và IKM đồng dạng với nhau. Do đó trên đoạn AI ta lấy M sao cho IM=1. Khi đó hai tam giác IAK và IKM có góc I chung và \(\frac{IA}{IK}=2=\frac{KA}{KM}\) nên hai tam giác đồng dạng với nhau.

\(\Rightarrow M\left( 2;\,2;\,0 \right)\). Khi đó \(KA+2KB=2\left( KM+KB \right)\ge 2MB\).

Dễ thấy B nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\) và M nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\) nên ta có dấu bằng xảy ra khi K là giao điểm của MB với mặt cầu \(\left( S \right)\).

Phương trình MB: \(\left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=5+3t \\ & z=0 \\ \end{align} \right.\), suy ra \(K\left( 2;\,5+3t;\,0 \right)\).

\(K\in \left( S \right) \Rightarrow 1+{{\left( 3+3t \right)}^{2}}=4 \Leftrightarrow t=-1\pm \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow K\left( 2;\,2-\sqrt{3};\,0 \right)\) và \(\Rightarrow K\left( 2;\,2+\sqrt{3};\,0 \right)\).

Do K nằm giữa B,M nên \(K\left( 2;\,2+\sqrt{3};\,0 \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( ABK \right)\) là \(z=0\Rightarrow a=0,b=0,c=0\Rightarrow a+b+c=0\).