Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 2019 số nguyên x thỏa mãn bất phương trình \({{x}^{2}}-\left( y+3 \right)x+3y<\left( y-x \right){{\log }_{2}}x\)

Điều kiện: x>0.

Ta có \({{x}^{2}}-\left( y+3 \right)x+3y<\left( y-x \right){{\log }_{2}}x \Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy-3x+3y-\left( y-x \right){{\log }_{2}}x<0\)

\(\Leftrightarrow x\left( x-y \right)-3\left( x-y \right)+\left( x-y \right){{\log }_{2}}x<0\)

\(\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x-3+{{\log }_{2}}x \right)<0 \left( 1 \right)\).

Xét \(x-3+{{\log }_{2}}x>0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x>3-x \left( 2 \right)\).

Vì \(f\left( x \right)={{\log }_{2}}x\) là hàm đồng biến, \(g\left( x \right)=3-x\) là hàm nghịch biến.

Nên với x > 2 ta có \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) > 1\\ g\left( x \right) < 1 \end{array} \right. \Rightarrow x > 2\) là nghiệm của (2).

Vậy (1) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - y > 0\\ x - 3 + {\log _2}x < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x - y < 0\\ x - 3 + {\log _2}x > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > y\\ x < 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x < y\\ x > 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\) .(3)

Do đó ta có:

+) Với 0

+) Với y=2 thì \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm \(\Rightarrow \left( 1 \right)\) không có nghiệm x nguyên.

+) Với y>2 thì \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow 2

Để \(\left( 1 \right)\) có không quá 2019 nghiệm x nguyên thì \(y-3\le 2019\Leftrightarrow y\le 2022\).