Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( { - 1;3;5} \right),\,\,B\left( {2;6; - 1} \right),\,\,C\left( { - 4; - 12;5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z - 5 = 0\). Gọi \(M\) là điểm di động trên \(\left( P \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) là:

Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1 - a;\,\,3 - b;\,5 - c} \right)\\\overrightarrow {IB}  = \left( {2 - a;\,\,6 - b; - 1 - c} \right)\\\overrightarrow {IC}  = \left( { - 4 - a; - 12 - b;5 - c} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \left( { - 3a - 3; - 3b - 3; - 3c + 9} \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + 3 = 0\\3b + 3 = 0\\3c - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1; - 1;3} \right)\)

Ta có : \(S = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MI}  + \underbrace {\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right| = 3MI\)

Khi đó \({S_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 + 2\left( { - 1} \right) - 2.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{14}}{3}\).

Vậy \({S_{\min }} = 3.\dfrac{{14}}{3} = 14\).

Chọn B.