Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất

Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất.

Tam giác AKM vuông tại K.

Ta thấy IK=r là bán kính đáy của chóp, AI=h là chiều cao của chóp.

\(I{K^2} = AI.IM \Rightarrow {r^2} = h\left( {6 - h} \right).\)

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {h^2}\left( {6 - h} \right)\,\,\,\left( {0 < h < 6} \right).\)

Hình nón có thể tích lớn nhất khi \(\frac{1}{3}\pi {h^2}\left( {6 - h} \right)\) lớn nhất hay \(y = - {h^3} + 6{h^2}\) lớn nhất trên (0;6).

Xét hàm số \(y = - {h^3} + 6{h^2}\) trên (0;6)

\(\begin{array}{l} y' = - 3{h^2} + 12h\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} h = 0 \notin \left( {0;6} \right)\\ h = 4 \in \left( {0;6} \right) \end{array} \right. \end{array}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi h=4.

\(\Rightarrow {r^2} = 4\left( {6 - 4} \right) = 8 \Rightarrow r = 2\sqrt 2 .\)