Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=(x^2+mx)/(1-x) bằng 10

Các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) sẽ nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\).

\(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\)

TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x + m}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} - 2x - m = 0\,\,(*) \end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay:

\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 1 + m > 0\\ {1^2} - 2.1 - m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\(y = \frac{{\left( {{x^2} + mx} \right)'}}{{(1 - x)'}} = \frac{{2x + m}}{{ - 1}} = - 2x - m\)

Gọi \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} - m} \right);\,B\left( {{x_2}; - 2{x_2} - m} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Theo định lý Vi-et ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = - m \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} AB = 10 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {2{x_1} - 2{x_2}} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20 \Rightarrow {2^2} - 4( - m) = 20 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}\)