Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y^2-2y+x=0 và đường thẳng d:x+y=0

Giao điểm của đường cong (C) và đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2x + y = 0\\ x + y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - {x^2} + 2x\\ y = - x \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = -3 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng là: \(S = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 2x - ( - x)} \right|}dx = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx = \frac{9}{2}}\) (do  \(- {x^2} + 3x \ge 0\,,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\))