Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 16p + 1 là lập phương của số nguyên dương.

a) Vì 16p + 1 là lẻ và lớn hơn  nên có thể đặt \(16p + 1 = {\left( {2n + 1} \right)^3}{\rm{,  }}\forall n \in {N^*}.\)

Ta có: \(16p + 1 = {\left( {2n + 1} \right)^3} \Leftrightarrow 8p = n\left( {4{n^2} + 6n + 3} \right)\)

Vì \(4{n^2} + 6n + 3\) là số lẻ lớn hơn  và không phân tích được thành tích của hai số nguyên nên từ trên suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
n = 8\\
4{n^2} + 6n + 3 = p
\end{array} \right.\)

Từ đó, ta có p = 307  Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy  là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn yêu cầu

b) Nhân cả hai vế , ta được:

\(36\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 84\left( {a + b} \right) =  - 48 \Leftrightarrow {\left( {6a - 7} \right)^2} + {\left( {6b - 7} \right)^2} = 50\)

Số  có thể phân tích thành tổng của hai số chính phương là 50 = 25 + 25 = 1 + 49

Nhận xét: Do vai trò của a, b như nhau nên nếu (a, b) thỏa mãn thì (b, a) cũng thỏa mãn. 

Nên chỉ cần xét các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {6a - 7} \right)^2} = 25\\
{\left( {6b - 7} \right)^2} = 25
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6a - 7 = 5\\
6a - 7 = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
6a - 7 = 5\\
6a - 7 =  - 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
6a - 7 =  - 5\\
6a - 7 = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
6a - 7 =  - 5\\
6a - 7 =  - 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3}\\
b = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3}\\
b = \frac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

TH2: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {6a - 7} \right)^2} = 1\\
{\left( {6b - 7} \right)^2} = 49
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6a - 7 = 1\\
6b - 7 = 7
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
6a - 7 = 1\\
6b - 7 =  - 7
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
6a - 7 =  - 1\\
6b - 7 = 7
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
6a - 7 =  - 1\\
6b - 7 =  - 7
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{4}{3}\\
b = \frac{7}{3}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{4}{3}\\
b = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \frac{7}{3}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Kết hợp với giả thiết và nhận xét ở trên, ta có các bộ số  (a, b) thỏa mãn là: \(\left\{ {\left( {0,1} \right);\left( {1,0} \right),\left( {2,2} \right)} \right\}\)