-
Câu hỏi:
Cho Parabol \((P):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \((d):y = \left( {m + 1} \right)x - {m^2} - \frac{1}{2}\) (m là tham số).
Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm \(A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})\) sao cho biểu thức \(T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải tham khảo:
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{1}{2}{x^2} = \left( {m + 1} \right)x - {m^2} - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2{m^2} + 1 = 0{\rm{ }}(1)\)Để (d) cắt (P) tại hai điểm \(A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})\) thì phương trình (1) có hai nghiệm\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 2{m^2} - 1 = 2m - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\)Vậy với \(0 \le m \le 2\) thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm \(A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})\)Khi đó theo định lý Viet thì \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 1
\end{array} \right.\)Ta có:\(\begin{array}{l}
{y_1} = (m + 1){x_1} - {m^2} - \frac{1}{2}\\
{y_1} = (m + 1){x_2} - {m^2} - \frac{1}{2}
\end{array}\)Do đó:\(\begin{array}{l}
T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2} = \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{m^2} - 1 - {x_1}{x_2}\\
= 2{\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} - 2 = - 2{m^2} + 4m = 2 - 2{\left( {m - 1} \right)^2},\forall m \in \left[ {0,2} \right].
\end{array}\)Đặt \(m \in \left[ {0,2} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1,1} \right] \Rightarrow {t^2} \in \left[ {0,1} \right].\)Nên \(T = 2 - 2{\left( {m - 1} \right)^2} = 2 - 2{t^2} \ge 0.\)Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0 đạt được khi \({t^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow m = 0;m = 2.\)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
YOMEDIA
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- a) Rút gọn biểu thức \(T = \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \frac{{\sqrt {ab}
- Cho Parabol \((P):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \((d):y = \left( {m + 1} \right)x - {m^2} - \frac{1}{2}\) (m là tham số).
- a) Giải phương trình: \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5\) b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \beg
- Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau.
- Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 16p + 1 là lập phương của số nguyên dương.
- a) Cho x, y là hai số dương.
