Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y=x^4+2mx^2+1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

\(y' = 4{x^3} + 4mx = 4x\left( {{x^2} + m} \right)\)

Đề phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} = - m\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay m<0 nên ta loại ngay A,C.

Đến đây ta có thể thử từng giá trị của 2 đáp án còn lại.

m = -1 thỏa yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết như sau:

Với m<0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị có tọa độ:

\(A(0;1);\,B( - \sqrt { - m} ;1 - m);\,C\left( {\sqrt { - m} ;1 - m} \right)\)
Đường thẳng BC song song với trục hoành nên:  \(BC = \left| {{x_B} - {x_C}} \right| = 2\sqrt { - m}\)
Gọi I là trung điểm của BC  \(\Rightarrow I\left( {0;1 - m} \right)\)

AI song song với trục Oy nên:  \(AI = \left| {{y_A} - {y_I}} \right| = - m\)

Tam giác ABC vuông khi \(AI = \frac{1}{2}BC \Rightarrow - m = \sqrt { - m} \Leftrightarrow m = - 1\) (do m<0)