Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f(x)=(mx+1)/(x-m) có giá trị lớn nhất trên [1;2] bằng -2

Tập xác định: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ m \right\}\).

Để hàm số có giá trị lớn nhất trên [1;2] thì \(m \notin \left[ {1;\;2} \right]\).

\(f'\left( x \right) = \frac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\)

\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{{1 - m}}\)

Theo đề bài: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = - 2 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{1 - m}} = - 2 \Leftrightarrow m + 1 = 2m - 2 \Leftrightarrow m = 3.\)