Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=(x^2−1)e^(x^3−3x) biết rằng hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành.

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}}  = \int {\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}d{\rm{x}}} \)

Đặt \(u = {x^3} - 3x \Rightarrow du = 3\left( {{x^2} - 1} \right)dx\)

Vậy: \(F(x) = \frac{1}{3}\int {{e^u}du}  = \frac{1}{3}{e^u} + C = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} + C\)

Ta có: \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1.\)

Mặt khác \(F''\left( x \right) = f'\left( x \right) = 2{\rm{x}}{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} + 3\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F''\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}} > 0\\
F''\left( { - 1} \right) =  - 2{{\rm{e}}^2} < 0
\end{array} \right..\)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=1.

Từ đề bài suy ra:\(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C =  - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}} + 2}} - 1}}{{3{{\rm{e}}^2}}}.\)