Hàm số fleft( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0,fleft( 0 ight) = 0

Ta có: $f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c$,        $f''\left( x \right) = 6ax + 2b$.

Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0,f\left( 0 \right) = 0$ và đạt cực đại tại điểm $x = 1,f\left( 1 \right) = 1$ điều kiện là:

$\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 0{\rm{ }}\\ f\left( 1 \right) = 1\\ f'\left( 0 \right) = 0\\ {\rm{f}}\left( 1 \right) = 0\\ f''\left( 0 \right) > 0\\ f''\left( 1 \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d = 0\\ a + b + c + d = 1\\ c = 0\\ 3a + 2b + c = 0\\ 2b > 0\\ 6a + 2b < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a =  - 2\\ b = 3\\ c = d = 0 \end{array} \right.$

Thử lại với $a =  - 2,b = 3$ và $c = d = 0$ thỏa mãn điều kiện đề bài.