Hàm số fleft( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0,fleft( 0 ight) = 0

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\),        \(f''\left( x \right) = 6ax + 2b\).

Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1\) điều kiện là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 0{\rm{ }}\\
f\left( 1 \right) = 1\\
f'\left( 0 \right) = 0\\
{\rm{f}}\left( 1 \right) = 0\\
f''\left( 0 \right) > 0\\
f''\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d = 0\\
a + b + c + d = 1\\
c = 0\\
3a + 2b + c = 0\\
2b > 0\\
6a + 2b < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 2\\
b = 3\\
c = d = 0
\end{array} \right.\)

Thử lại với \(a =  - 2,b = 3\) và \(c = d = 0\) thỏa mãn điều kiện đề bài.