Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa, cùng phương, cùng tần số với các biên độ là \(6 \mathrm{~cm}\) và \(4 \mathrm{~cm}\). Tại thời điểm t, các dao động có li độ lần lượt là \(\mathrm{x}_{1}\) và \(\mathrm{x}_{2}\). Biết rằng giá trị cực đại của \(\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}\) là D, giá trị cực tiểu của \(\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}\) là \(\frac{-\mathrm{D}}{3}\). Biên độ dao động của vật gần nhất với giá trị nào sau đây?

Phương trình dao động điều hòa

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\rm{x}}_1} = {{\rm{A}}_1}.\cos \left( {\omega {\rm{t}} + {\varphi _1}} \right)}\\
{{{\rm{x}}_2} = {{\rm{A}}_2}.\cos \left( {\omega {\rm{t}} + {\varphi _2}} \right)}
\end{array}} \right.\)

Xét tích \({{\text{x}}_{1}}\text{.}{{\text{x}}_{2}}={{\text{A}}_{1}}\text{.}{{\text{A}}_{2}}.\frac{1}{2}\left( \cos \left( 2\omega \text{t}+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right) \right)\)

Tích đó có giá trị cực đại khi \(\cos \left( {2\omega {\rm{t}} + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = 1\) và cực tiểu khi \(\cos \left( 2\omega \text{t}+{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=-1\)

Khi đó 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\rm{x}}_1}{\rm{.}}{{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2}{\rm{.}}{{\rm{A}}_1}{\rm{.}}{{\rm{A}}_2}\left( {1 + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right) = {\rm{D}}(1)}\\ {{{\rm{x}}_1}{\rm{.}}{{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2}{\rm{.}}{{\rm{A}}_1}{\rm{.}}{{\rm{A}}_2}\left( { - 1 + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right) = \frac{{ - {\rm{D}}}}{3}(2)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(1) + (2) \Rightarrow \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = \frac{2}{3}\frac{{\rm{D}}}{{{{\rm{A}}_1}\;{{\rm{A}}_2}}}(3)}\\ {(1) - (2) \Rightarrow {{\rm{A}}_1}{\rm{.}}{{\rm{A}}_2} = \frac{4}{3}{\rm{D}}{\mkern 1mu} (4)} \end{array}} \right.\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow \cos \Delta \varphi =\frac{1}{2}\)

Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động là: x\(\text{A}=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{1}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \Delta \varphi }\approx 8,7(~\text{cm})\)..