Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P) và đoạn thẳng AB

Gọi \(A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(b > a\)là hai điểm trên Parabol và \(AB = 2.\)

Khi đó phương trình đường thẳng AB là \(y - {a^2} = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{b - a}}\left( {x - a} \right) \Rightarrow y = \left( {a + b} \right)x - ab.\)

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có: \(S = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x - ab - {x^2}} \right]} .dx = \frac{1}{6}{\left( {b - a} \right)^3}.\)

Ta có: \(AB = 2 \Rightarrow \left| {b - a} \right| = b - a \le 2 \Rightarrow S = \frac{1}{6}{\left( {b - a} \right)^3} \le \frac{{{2^3}}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow {S_{m{\rm{ax}}}} = \frac{4}{3}.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a =  - 1;\,\,b = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right),B\left( {1;1} \right).\)