Giải phương trình 2^(x+1/4x)+2^(x/4+1/x)=4

Điều kiện: \(x \ne 0.\) Ta có: \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\left( 1 \right).\)

Với x<0 thì VT<4, do đó: x>0.

Ta có áp dụng Bđt Cauchy:

\(x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 1 \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \ge {2^1} = 2\)

\(\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \ge 2.\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 2 \Rightarrow {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge {2^1} = 2\)

Từ đây suy ra: \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 4\) 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = \frac{1}{4}\\ {x^2} = 2 \end{array} \right.\) (Vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho VN.