Gọi {S_1},,{S_2},,{S_3} lần lượt là tập nghiệm của các bất phương trình sau: {2^x} + {2.3^x} - {5^x} + 3 > 0; {log _2}(x+2)<=-2

 \({2^x} + {2.3^x} - {5^x} + 3 > 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 2{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 3{\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} - 5 > 0\).

Đặt  \(f(x) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 2{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 3{\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} - 5\)

 \(\Rightarrow f'(x) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\ln \frac{2}{5} + 2{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + 3{\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}\ln \frac{1}{5} - 5 < 0 \Rightarrow f(x)\) nghịch biến trên tập xác định.

Mặt khác ..

\({\log _2}\left( {x + 2} \right) \le - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ x + 2 \le \frac{1}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ x \le - \frac{7}{4} \end{array} \right. \Rightarrow {S_2} = \left( { - 2; - \frac{7}{4}} \right].\)

\({\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 - 1}}} \right)^x} > 1 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow {S_3} = ( - \infty ;0).\)

Suy ra \({S_2} \subset {S_3} \subset {S_1}\)