ìm tất cả các giá trị thực của tham số (m) để phương trình ({4^{sqrt {x + 1} + sqrt {3 - x} }} - {14.2^{sqrt {x + 1} + sqrt {3 - x} }} + 8 = m) có nghiệm

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} \).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} \) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\):

Từ đó suy ra \(t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\).

Khi đó ta có phương trình: \({4^t} - {14.2^t} + 8 = m\) .

Đặt \(a = {2^t}\), do \(t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) nên \(a \in \left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right]\). Ta có phương trình \({a^2} - 14a + 8 = m\).

Xét hàm số \(g\left( a \right) = {a^2} - 14a + 8;g'\left( a \right) = 2a - 14;g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 7\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( a \right)\) trên \(\left[ {4;{4^{\sqrt 2 }}} \right]\).

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm thì  \( - 41 \le m \le  - 32\).