Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sqrt {{3^x} + 3}  + sqrt {5 - {3^x}} <=m có nghiệm đúng với mọi x thuộc.

Đặt \(t = {3^x},t \in \left( {0;5} \right]\)

Khi đó BPT trở thành: \(f\left( t \right) = \sqrt {t + 3}  + \sqrt {5 - t}  \le m \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;5} \right]} f\left( t \right)\)

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} - \frac{1}{{2\sqrt {5 - t} }} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} - \frac{1}{{2\sqrt {5 - t} }} = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên hàm số ta thấy \(m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;5} \right]} f\left( t \right) \Rightarrow m \ge 4\) thỏa yêu cầu bài toán.