Phương trình 3.2^x+4.3^x+5.4^x=6.5^x có bao nhiêu nghiệm

Phương trình  \({3.2^x} + {4.3^x} + {5.4^x} = {6.5^x} \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{2}{5}} \right) ^x} + 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 5{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 6 = 0\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 5{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 6\) với \(x\in \mathbb{R}\)

Ta có  \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vì hàm số \(g\left( x \right) = {a^x}\) với \(0 < a < 1\) là hàm số nghịch biến trên tập xác định nên phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm.

Mặt khác \(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình có nghiệm duy nhất nhất \(x_0\in (1;2)\)