Phương trình 3.2^x+4.3^x+5.4^x=6.5^x có bao nhiêu nghiệm

Phương trình  ${3.2^x} + {4.3^x} + {5.4^x} = {6.5^x} \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{2}{5}} \right) ^x} + 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 5{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 6 = 0$

Xét hàm số $f\left( x \right) = 3.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + 5{\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 6$ với $x\in \mathbb{R}$

Ta có  $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Vì hàm số $g\left( x \right) = {a^x}$ với $0 < a < 1$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định nên phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm.

Mặt khác $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0$ nên phương trình có nghiệm duy nhất nhất $x_0\in (1;2)$