Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 1} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0?\)

Ta có \(\begin{array}{l}y' = 8{x^7} + 5\left( {m - 1} \right){x^4} - \left( {{m^2} - 1} \right)4{x^3} = {x^3}\left[ {8{x^4} + 5x\left( {m - 1} \right) - 4\left( {{m^2} - 1} \right)} \right] = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 8{x^4} + 5x\left( {m - 1} \right) - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(x = 0\) là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) khi qua nghiệm \(x = 0\)

*) TH1: \(x=0\) là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m =  \pm 1\)

Với \(m=1\)  thì \(g\left( x \right) = 0\)  có nghiệm \(x = 0\)  bội \(4\) theo kết quả ở trên thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)  là nghiệm bội   của   nên \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn \(m{\rm{ }} = {\rm{ 1}}{\rm{.}}\)

Với \(m =  - 1\) thì \(g\left( x \right)\) có nghiệm \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và 1 nghiệm dương, lúc này lập bảng biến thiên thu được \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)  là điểm cực đại của hàm số. Loại \(m{\rm{ }} =  - {\rm{ 1}}.\)

*) TH2: \(x=0\) không là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m\ne \pm 1\). Ta có \(g\left( 0 \right)=-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)\).

\(y'={{x}^{3}}g\left( x \right)\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) qua nghiệm \(x = 0\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{align}& \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)>0 \\& \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)>0 \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\) \(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1\)

Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ 0 \right\}\)

Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \in \left\{ {0;1} \right\}\)

Chọn B.