Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = 2a,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng

Từ C kẻ CE//BD, CE cắt AD kéo dài tại E. Khi đó ta có: \(\left( {SEC} \right) \supset SC;\left( {SEC} \right)\parallel BD\) .

 Khi đó ta có: \(d\left( {BD;SC} \right) = d\left( {BD;\left( {SEC} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SEC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SEC} \right)} \right)\) (do O là trung điểm của AC).

Từ A kẻ \(AI \bot CE = \left\{ I \right\}\) . Ta có: \(EC \bot AI;EC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow EC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SEC} \right) \bot \left( {SAI} \right);\left( {SEC} \right) \cap \left( {SAI} \right) = SI\) . Từ A kẻ AH vuông góc với SI. Khi đó ta có: \(d\left( {A;\left( {SEC} \right)} \right) = AH\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}{S_{AEC}} = \frac{1}{2}CD.AE = \frac{1}{2}a.4a = 2{a^2}\\ = \frac{1}{2}.AI.EC = \frac{1}{2}.AI.BD = \frac{1}{2}AI.\sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = \frac{1}{2}AI.a\sqrt 5 \\ \Rightarrow AI = \frac{{2.2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{4a}}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAI ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{5}{{16{a^2}}} = \frac{{21}}{{16{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{4a}}{{\sqrt {21} }} = \frac{{4a\sqrt {21} }}{{21}}\)

Khi đó ta có: \(d\left( {BD,SC} \right) = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\)

Chọn C.