Cho hàm số \(y = \frac{1}{8}{x^4} - \frac{7}{4}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) ( M, N khác A) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)?\)

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), ta có: \({y_1} - {y_2} = 3\left( {{x_1} - {x_2}} \right) \Rightarrow \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 3\)  chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A\)

Suy ra \(f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{2}x_0^3 - \frac{7}{2}{x_0} = 3 \Leftrightarrow x_0^3 - 7{x_0} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = \frac{{ - 171}}{8}\\{x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} =  - \frac{{27}}{8}\\{x_0} =  - 2 \Rightarrow {y_0} =  - 12\end{array} \right.\)

Khi đó ta có các tiếp tuyến \(y = 3x - \frac{{243}}{8},y = 3x - \frac{3}{8},y = 3x - 6\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đường thẳng \(y = 3x + m\) là

\(\frac{1}{8}{{x}^{4}}-\frac{7}{4}{{x}^{2}}=3x+m\Leftrightarrow m=\frac{1}{8}{{x}^{4}}-\frac{7}{4}{{x}^{2}}-3x\,\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số:  \(g\left( x \right) = \frac{1}{8}{x^4} - \frac{7}{4}{x^2} - 3x\) ta có \(g'\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{7}{2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 7x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Để phương trình \(\left( * \right)\) có ba nghiệm thì \(m=\frac{11}{8}\) ứng với \({{x}_{0}}=-1\)   và m = 1 ứng với \({{x}_{0}}=-2\)

Vậy có hai điểm \(A\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.