Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - 2\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 2\,\,\left( {a,b,c,d,e \in R} \right).\) Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 2; - 1;1\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng:

Ta có:

\(a{x^3} + b{x^2} + cx - 2 = d{x^2} + ex + 2 \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - 4 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Vì phương trình \(\left( 1 \right)\) có các nghiệm \( - 2; - 1;1\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}a{\left( { - 2} \right)^3} + \left( {b - d} \right){\left( { - 2} \right)^2} + \left( {c - e} \right)\left( { - 2} \right) - 4 = 0\\a{\left( { - 1} \right)^3} + \left( {b - d} \right){\left( { - 1} \right)^2} + \left( {c - e} \right)\left( { - 1} \right) - 4 = 0\\a{.1^3} + \left( {b - d} \right){.1^2} + \left( {c - e} \right).1 - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b - d = 4\\c - e =  - 2\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx + } \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - 4} \right)dx + } \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - a{x^3} + \left( {d - b} \right){x^2} + \left( {e - c} \right)x + 4} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {2{x^3} + 4{x^2} - 2x - 4} \right)dx + } \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 2{x^3} - 4{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \\ = \frac{5}{6} + \frac{{16}}{3} = \frac{{37}}{6}.\end{array}\)

Chọn A.